Butterworthフィルタ

Butterworth Low passフィルタ

${\displaystyle B(s)=\underset{k=1}{\overset{n/2}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\left[s^2-<!--\; -\; -->2s\cos <!--\; \; -->\left(\frac{2k+n-<!--\; -\; -->1}{2n}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\right)+1\right]}$ (for \(n=2m\))

${\displaystyle B(s)=(s+1)\underset{k=1}{\overset{(n-<!--\; -\; -->1)/2}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\left[s^2-<!--\; -\; -->2s\cos <!--\; \; -->\left(\frac{2k+n-<!--\; -\; -->1}{2n}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\right)+1\right]}$ (for \(n=2m+1\))

また、バターワース多項式の係数配列を下記の式で整理しておく。

${\displaystyle B(s)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k{s}^k}$

次に、\(s\)にプリワーピングを考慮した $z^{-<!--\; -\; -->1}$ の多項式

${\displaystyle s=\left(\frac{2}{T}\frac{1-<!--\; -\; -->z^{-<!--\; -\; -->1}}{1+z^{-<!--\; -\; -->1}}\right)/\left(\frac{2}{T}\tan <!--\; \; -->(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{f}_{c}T/2)\right)}$
を代入してフィルタ係数\(a, b\)を導出する。

ここで、 $y=z^{-<!--\; -\; -->1}$ $w=\tan <!--\; \; -->(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{f}_{c}T/2)=\tan <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}\frac{f_c}{F}\right)$ とすると

${\displaystyle s=\frac{1-<!--\; -\; -->y}{w(1+y)}}$

と書くことができる。

以上のことから、伝達関数\(H(s)\)は、

${\displaystyle H(s)=\frac{1}{B}=\frac{1}{\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k{s}^k}=\frac{1}{\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k/w^k\frac{(1-<!--\; -\; -->y{)}^k}{(1+y{)}^k}}}$

となり、この式の部分分数を処理して、

${\displaystyle H ( y )=\frac{(1+y{)}^n}{\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k/w^k(1-<!--\; -\; -->y{)}^k(1+y{)}^{n-<!--\; -\; -->k}}}$

となる。さらに、 $a_0=1$ とするために、 $A_0=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k/w^k$ として正規化すると、

${\displaystyle H ( y )=\frac{A_0^{-<!--\; -\; -->1}(1+y{)}^n}{A_0^{-<!--\; -\; -->1}\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{c_k}{w^k}(1-<!--\; -\; -->y{)}^k(1+y{)}^{n-<!--\; -\; -->k}}}$

となる。 したがって、Butterworth LowPassフィルタのフィルタ係数は、

${\displaystyle b(y)=(1+y{)}^n/\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(c_k/w^k)}$

${\displaystyle a(y)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{c_k}{w^k}(1-<!--\; -\; -->y{)}^k(1+y{)}^{n-<!--\; -\; -->k}/\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(c_k/w^k)}$ となる。

フィルタ係数 \(a,b\)が決まれば、下式を使ってフィルタリングを行う。

${\displaystyle y(t)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_{k}x(t-<!--\; -\; -->k)-<!--\; -\; -->\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{k}y(t-<!--\; -\; -->k)}$

Butterworth High passフィルタ

として処理すればよい。
したがって、伝達関数\(H(s)\)は、

${\displaystyle H(s)=\frac{1}{B}=\frac{1}{\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k{s}^k}=\frac{1}{\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k・w^k\frac{(1+y{)}^k}{(1-<!--\; -\; -->y{)}^k}}}$

となる。この式もLow Passフィルタの時と同様に部分分数処理と $A_0=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k・w^k$ として正規化を行うと

${\displaystyle H(y)=\frac{A_0^{-<!--\; -\; -->1}(1-<!--\; -\; -->y{)}^n}{A_0^{-<!--\; -\; -->1}\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k・w^k(1+y{)}^k(1-<!--\; -\; -->y{)}^{n-<!--\; -\; -->k}}}$

となり、フィルタ係数\(a,b\)は、

${\displaystyle b(y)=(1-<!--\; -\; -->y{)}^n/\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(c_k・w^k)}$

${\displaystyle a(y)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(c_k・w^k)(1+y{)}^k(1-<!--\; -\; -->y{)}^{n-<!--\; -\; -->k}/\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(c_k・w^k)}$

となる。